Hübsches Wort und schon recht lang im Gebrauch; schon der alte Pythagoras sprach davon.

Sagen wir mal, das sei die Ordnung des Tonraumes.

Wenn ich ein Rohr oder einen hohlen Knochen nehme, ein bisschen dran herumschnitze und mit etwas Geschick hineinblase, gibts einen Ton... bohr ich ein paar Löcher hinein hab ich mehrere Töne und damit bereits eine Ordnung des Tonraumes - eine zufällige oder willkürliche Ordnung.

Wenn ich, weil Besuch kommt, meine Werkstatt aufräume, indem ich alles einfach in den nächstbesten Schrank stopfe, sieht es jedenfalls ordentlich aus... aber wenn ich danach ein Loch in ein Brett bohren will, such ich 2 Tage den Bohrer...

Deshalb sind direkt an meiner Bohrmaschine 2 große Sortierkästen an der Wand...

Nein, die Bohrer sind nicht da drin - die liegen auf der sogenannten Arbeitsfläche, die man deswegen als solche nicht nutzen kann - ich kann mich nämlich nicht entscheiden welche Bohrer in welche Kästchen sollen...

und dann gibts auch noch die Schublade mit den Akkuschraubern und Handbohrmaschinen; da brauch ich die Bohrer auch...

Es gibt einen Haufen Bereiche wie Elektronik, Feinmechanik, Metallbau, Holz und vieles, was in keinen der Bereiche richtig und in mehrere ein bisschen reinpasst... Es ist gar nicht so einfach "ein System da rein zu bringen"

Ein System dient also dazu vieles, oft widersprüchliches unter einen Hut zu bringen.

So ist es jedenfalls mit Tonsystemen.

Da hätten wir zum einen das melodische Hören - das bevorzugt gleichmäßige Tonabstände; nicht zu groß, nicht zu klein, aber wie genau ist ziemlich gleich... gleichmäßig heißt mathematisch dann allerdings logarithmisch.

Das harmonische Hören gibts nur wegen der Obertonreihe; wie im Kapitel übers Hören bereits gesagt, hören wir Intervalle nur sehr ungenau, haben aber ein extrem feines Unterscheidungsvermögen bei fast gleichen Tonhöhen.

Im wesentlichen sind Harmonien der Einklang verschiedener Partial- oder Teil-töne, die früher Obertöne hießen.

Diese Töne mit den vielen Vornamen sind ganzzahlige Vielfache des Grundtones - ganz oder fast genau.

Harmonisch sind daher Frequenzverhältnisse verschiedener Teiltöne zueinander - und das sind Brüche.

Dummerweise vertragen sich Logarithmen und Brüche gar nicht miteinander; Logarithmen sind mit Wurzeln verwandt und die bezeichnet man als irrational während Brüche die rationalen Zahlen per se sind.

Für rein melodische Musik spielen rationale Frequenzverhältnisse ansich keine Rolle; nichtmal die Oktav.

Sie werden zwar trotzdem oft so angegeben, aber das hat historische Gründe oder soll die Ignoranz des Autors zum Ausdruck bringen.

Ich habe lange überlegt, wie man diese zwei Sachen am besten Darstellen kann.

Da in der westlichen Musik die Oktav immer eine Art Grundeinteilung ist, hab ich eine Art Uhr genommen - 1x im Kreis herum entspricht einer Oktav

die gleichmäßige Kreisteilung ist dann natürlich logarithmisch und da drin befindet sind ein Pentagramm im Fünfeck - die Teiltöne 1-10 bilden diese Figur und die Form bleibt exakt gleich, egal wo im Kreis ich den Grundton plaziere:

Schon im Kapitel Hören geh ich darauf ein, dass ich auf 11, 13 und weitere verzichte - die sind in meinen Ohren musikalisch nicht brauchbar - sie sind nur unter besonders günstigen Bedingungen überhaupt noch als Naturintervall zu identifizieren.

1;2;4;8 bezieht sich nicht auf den dicken Punkt sondern auf die Ecke im Pentagramm

die 1 ist der Grundton; in diesem Falle ein C; die 2 ist wieder ein C, nur eine Oktave höher.

Analog entsprechen 3 und 6 beide dem Ton G.

Dies Pentagramm ist frei drehbar und unabhängig von der gleichmäßigen Einteilung der Uhr; im zweiten Bild ist sie wie auf dem Klavier in 12 stufen eingeteilt und diesmal liegt der Grundton auf D.

Sehr schön sieht man wie einfach der Zusammenhang zwischen Intervall, Bruch und Teiltönen ist:

Das Intervall zwischen dem 5.ten und 4.ten Teilton ist eine große Terz und wird korrekt als das Frequenzverhältnis 5/4 angegeben. Hat der untere Ton 400Hz, hat der obere 500Hz

Auf dem Klavier, was der Uhr-einteilung entspricht ist der untere Ton der großen Terz genau das D, während das Fis doch ein gutes Stück von der große-terz-ecke des Pentagramms entfernt liegt; die große Terz auf dem Klavier ist nicht rein, sondern zu groß. Die Quinte von D nach A stimmt dagegen fast genau; die kleine Terz von F# nach A ist wieder stark verstimmt.

Die 7 ist sowohl in der 19er als auch in der 12er-teilung deutlich daneben

Die Komplementärintervalle hab ich nicht extra angegeben; dafür müssen Sie den Bruch lediglich herumdrehen und auf der Uhr statt des kurzen Weges den langen andersherum gehen;

Die Quinten hätte ich eigentlich als Quarten bezeichnen müssen, da ich in allen übrigen Fällen die kleinere Version der komplementären Intervalle genommen habe...

Die Natursept 7/4 ist das komplementäre Intervall zur kleinen Subterz 8/7.

Das 19er System ist zwar harmonischer - die Abweichungen sind gleichmäßiger verteilt, aber als System mit festen Tonhöhen, wie ich das ursprünglich mal im Sinn gehabt hatte, hätte sich der ganze Aufwand nicht gelohnt.

Es stellte sich aber im Laufe meiner Versuche heraus, dass sich dieses System sehr gut als Basis für das intonieren reiner Intervalle durch ziehen der Töne eignet.

Insofern nenne ich das ganze ein Intonations-system - genausogut könnte man von systematischer Intonation oder von quantisierter Intonation sprechen; die Abweichungen des 19stufigen Systems zur reinen Intonation sind nämlich mit erstaunlicher Genauigkeit Vielfache von 7ct; Theoretisch teile ich den Oktavraum in 19x9 stufen ein; praktisch wird aber nur ein recht kleiner Teil davon gebraucht; man kommt eigentlich immer damit hin, einzelne Töne um 1, 2 oder 3 Feinstufen bzw. um 7, 14 oder 21 ct zu ziehen.

Dieses systematische Ziehen belebt den Gesamtklang auf angenehme Weise.

Der Gesamtcharakter ähnelt der mitteltönigen Stimmung, die vom MIttelalter bis ins 18te Jhd. insbesondere Volks- und Kirchenlieder prägte; die Melodik mit ihrem 3/2 statt 2/1 Verhältnissen klingt deutlich entspannter. Alte Musik klingt authentischer; Dorisch und Phrygisch gewinnen an Attraktivität - das Jonische (Dur) verliert etwas; dazu kommt eine Vielzahl arabesker Skalen, die auf Dritteltönen und übermäßigen Sekunden beruhen; die melodische Einbindung der natursept ist einfacher... man kann neben dem Modulieren von Tonart zu Tonart auch von Skala zu Skala modulieren...

Dazu kommt das 19 als Primzahl quasi das Gegenteil der vielfach teilbaren 12 darstellt; hierdurch ergeben sich ganz andere Strukturen.

Es gibt eine System mit 12x6Tönen, das analog 19x9 die reinen Intervalle recht gut trifft; die Abweichungen sind rechnerisch zwar um den Faktor 10 größer, aber es sind keine Dissonanzen wie die Klavier-terzen sondern leichte Belebungen.

Das ist eine schöne Perfektionierung des Etablierten - so ein mehr desselben wie das in meinen Ohren unfruchtbare Vierteltonsystem Anfang des 20ten Jhds...